集合と論理

応用情報技術者試験の基礎理論分野では、集合と論理の理解が重要です。これらはデータベースのSQLやプログラミングの条件分岐の基礎となります。

集合の基本

集合とは、ある条件を満たすものの集まりです。

集合の表記

• 外延的表記: A = {1, 2, 3, 4, 5}
• 内包的表記: A = {x | x は10以下の正の整数}

集合の演算

演算	記号	説明	ベン図での領域
和集合	A ∪ B	AまたはBに属する要素	A,B両方の領域
積集合	A ∩ B	AかつBに属する要素	重なる部分
差集合	A - B	Aに属しBに属さない要素	Aのみの領域
補集合	Ā (または A’)	Aに属さない要素	A以外の領域

集合の法則

交換法則: A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A
結合法則: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
分配法則: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
ド・モルガンの法則: (A ∪ B)' = A' ∩ B', (A ∩ B)' = A' ∪ B'

論理演算

コンピュータの基本演算である論理演算について学びます。

基本的な論理演算

演算	記号	真理値表
AND（論理積）	∧, ·	両方真のとき真
OR（論理和）	∨, +	どちらか真で真
NOT（否定）	¬, ~	真偽を反転
XOR（排他的論理和）	⊕	一方だけ真で真

真理値表

A  B  | A∧B | A∨B | ¬A | A⊕B
0  0  |  0  |  0  |  1 |  0
0  1  |  0  |  1  |  1 |  1
1  0  |  0  |  1  |  0 |  1
1  1  |  1  |  1  |  0 |  0

ド・モルガンの定理（論理版）

¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B
¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B

これはプログラミングの条件式変換で頻出します。

命題論理

命題とは、真か偽かが明確に定まる文のことです。

論理式の変換

記号	意味	同値変換
A → B	AならばB	¬A ∨ B
A ↔ B	Aと同値B	(A → B) ∧ (B → A)

推論規則

• 三段論法: (A → B) ∧ (B → C) ならば A → C
• 対偶: A → B は ¬B → ¬A と同値

重要ポイント

• 集合演算はSQLのUNION、INTERSECT、EXCEPTに対応
• 論理演算はプログラムの条件分岐の基礎
• ド・モルガンの法則は条件式の書き換えに必須
• 対偶を使った証明問題に注意

確認問題

この内容に関連する過去問で理解を深めましょう。